ERATÓSTENES:
En Alejandria en el siglo III a.C vivó Eratóstenes, también conocido como “beta” la segunda letra del alfabeto griego ya que según un envidioso contemporáneo suyo era el segundo mejor del mundo en todo. Aunque debería llamarse alfa puesto que fue astrónomo, historiador, geógrafo,filósofo, poeta, matemático y crítico teatral.
Su principal motivo de celebridad es la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y utilizó la trigonometría, así como los conceptos de longitud y latitud, aunque al parecer, estos conceptos ya los introdujo Dicearco.
Lo que Eratóstenes descubrió fue que en Syene, en el día más largo del año (el 21 de junio) la sombra de las columnas o de cualquier objeto puesto en vertical, disminuía de longitud al acercarse las doce del mediodía. En ese mismo día, conforme avanzaban las horas hacía el medio día los rayos del sol iluminaban las paredes interna de un pozo en el que, habitualmente, no llegan los rayos del sol. Justo a las doce del mediodía las columnas no proyectaban sombra y la luz del sol caía en el agua del pozo. En ese momento el Sol estaba en su altura máxima, es decir, en su cenit.
Esto parece no tener mucha importancia, pero Eratóstenes era científico y se veía en la obligación de saber porqué pasaba esto. Quiso saber la respuesta de forma experimental y por ello colocó una estaca en Alejandria para ver si el 21 de junio a las doce del mediodía, la estaca proyectaba sombra, y así fue. Eratóstenes no comprendía como era posible que en el mismo día y a la misma hora una estaca proyectara una sombra en Alejandria pero en Syene a 800 km no.
Lo que hizo fue pensar que una había una estaca en Alejandria y otra de la misma longitud en Syene. Si la Tierra fuese plana tendría lógica que en un momento ninguna de las dos proyectará sombra, o que proyectaran la misma sombra. Pero esto no es lo que ocurría. La única respuesta que consiguió fue que la Tierra no fuese plana si no curva, y llego a la conclusión de que cuanto mayor fuese esa curva mayor sería la diferencia de la sombra. Como el Sol está tan lejos, sus rayos caen paralelos a la Tierra y por tanto dos estacas a diferentes ángulos proyectaran sombras diferentes.
Por la diferencia entre las dos sombras, la distancia entre las dos ciudades debería de ser de 7º sobre la superficie de la Tierra.
Además se dio cuenta de que, si esto era así, la Tierra debía estar inclinada de tal manera que los rayos cayesen en unos sitios de la Tierra perpendiculares y en otros no:
Sin embargo si no estuviera inclinada esto no sería posible.
Eratóstenes sabía la distancia que había entre las dos ciudades porque contrato a un hombre para que se recorriera a pie la distancia y así saber su medida. Ahora pensó que 7º es como un quincuagésimo de una esfera de 360º, por lo tanto 800 * 50= 40000 km y esa era la longitud de la Tierra.
AHORA NOS TOCA A NOSOTROS:
Nosotros hemos querido imitar este proceso para poder sacar por nosotros mismos la longitud de la Tierra. Para ello hemos utilizado el siguiente material:
- Un gnomon:
Objeto alargado que proyecta una sombra, independientemente del ángulo que forme con el cuadrante ; estará inclinado con respecto al plano horizontal con un ángulo igual a la latitud del lugar en el que se encuentre. En este caso nuestro gnomon es un recogedor.
- Una plomada
Nos servirá para determinar la horizontalidad del suelo.
- Papel kraft
Donde pintaremos la evolución de la sombra
- Cinta adhesiva
Para fijar el papel en el suelo
Para poner las marcas en el papel
Una brújula
Para poner el papel en una dirección este-oeste para que la sombra no se salga del papel.
- Reloj
Para controlar cada cuanto tiempo tomamos las medidas
- Compás
El compás estará formado por un taco de madera y una cuerda. - Metro:
PREPARACIÓN
1)Tenemos que asegurarnos que el suelo esté lo mas horizontal posible. Para ello vamos a atar la plomada al mango del recogedor para que la plomada quede perpendicular a este.
Tenemos que tomar las marcas justo en el punto en el que se termina la sombra del gnomon en el papel. Nosotros tomamos cada toma cada 5 minutos. A la hora de hacer los cálculos nos será util saber cuando se realizó cada toma, así que cada vez que hagamos una marca pondremos al lado la hora exacta en la que la hemos tomado.
Este proceso se debería hacer desde las 11 de la mañana hasta aproximadamente la 13:30 de la tarde.
Conforme vamos haciendo las marcas nos damos cuenta de que la trayectoria seguida por la sombra es parabólica pero muy poca curva, casi una recta.
Lo que tenemos que hacer ahora es tomar la medida mínima y en que momento se a producido. Para ello, y haciendo centro en el centro del gnomon, tendremos que hacer surcos de circunferencia de cualquier radio, lo importante es que corte en dos puntos a la trayectoria. Una vez tenemos esos dos puntos sabemos que esos puntos, en tiempos diferentes, tenían la misma longitud de sombra, por lo tanto el punto mínimo se encontrará en los puntos que se encuentran entre esos dos. A esos dos puntos les llamamos P1 y P2. Ahora tenemos que hacer las mediatrices de P1 y P2.
Esta linea (en la ilustración, la linea azul) sería la dirección norte-sur. En el momento en el que la trayectoria de la sombra cortó la linea norte-sur, ese punto, sería la longitud mínima. Medimos con el metro la distancia entre ese punto y el centro del gnomon para saber la distancia. A nosotros no salió 69cm a las 13:27. Pero a esta distancia le tenemos que restar el radio del recogedor, porque quien proyecta la sombra no es el centro del gnomon si no su borde.
69-1,5= 67,5cm.Esto nos servirá para calcular la altura del Sol sobre el horizonte. Para ello tenemos que tener en cuenta que la tangente del ángulo altura del sol sobre el horizonte es: altura del gnomon dividido por la longitud de la sombra. Una función arcotangente.
En nuestro caso la altura del gnomon era de 78cm, por lo tanto:
78/67,5= 1,15
CÁLCULOS
El colegio que elegimos para comparar nuestros resultados fue el IES Tirso de Molina que esta a 43,30 km del paralelo 40, y es, de todos los colegios que se han presentado al proyecto, el que estaba más cerca del meridiano que pasa por nuestro colegio. Este colegio esta a un altura del Sol de 51,09º y es Sol tuvo su cenit a las 13:04:37. Nuestro colegio, el Base, está a 56,56km del paralelo 40º, esta a una altura de 41,04º con respecto al Sol y obtuvo su cenit a las 13:20:51. Teniendo en cuenta estos cálculos vamos a determinar el radio de la Tierra.
Base:
90º-41,04º= 48,96º
IES Tirso de Molina:
90º-43,30º=46,7º
Para calcular la diferencia angular solo tendríamos que restar ambas magnitudes:
48,96-46,7=2,26º
La distancia entre los dos colegio es de 87.35km en linea recta
por lo tanto
2,26º-----87.35
360º-------x
x= 87.35 *360/2,26º= 13914.15
el perímetro de la Tierra es de 13914.15
Como el perímetro de una esfera de de 2pi.r, y teniendo en cuenta que queremos sacar el radio, ponemos r como incógnita:
13914.15 =2pi.r
6957.075= pi r
2214.50=r
El radio de la Tierra es de 2214.50
